Renda Fixa: entenda a duration modificada

As taxas de juros caíram no Brasil e com isso muitos falam que a renda fixa morreu. Neste artigo iremos apresentar o conceito de Duration Modificada e continuar nossa explicação sobre a gestão de risco da taxa de juros em títulos de renda fixa:

• Medidas de Duration: Macaulay duration, modified duration e effective duration
• Duration modificada: medindo o risco da taxa de juros nos títulos de renda fixa
• Portfolio Duration: Duration de uma carteira de títulos de renda fixa

Boa leitura!

• Entenda a curva de juros
• Marcação a mercado em títulos de renda fixa e fundos de investimento
• Entenda a duration

O que é a duration modificada?

Antes de mais nada, é importante que você saiba os conceitos que permeiam a Duration. Então sugerimos a leitura do artigo Renda fixa: entenda a duration.

Por sua vez, a Duration (ou Duração) Modificada é a variação percentual aproximada no preço de um título para uma variação de 100 pontos base na taxa de juros, assumindo que os fluxos de caixa esperados do título não mudem quando o rendimento muda, ou seja, os fluxos de caixa são fixos.

Você pode estar achando que essa definição é muito parecida com o que falamos em outros artigos. De fato, quando falamos de Duration, estamos falando de conceitos muito simulares. A Figura abaixo apresenta três tipos de Duration.

A definição geral, foi tratada no nosso artigo que comentei no início, assim como a definição da duration de Macaulay. Abaixo, temos mais duas definições: a duration modificada e a duration efetiva.

Como calcular a Duration Modificada

A Duration modificada nada mais é do que a Duration de macaulay, que apresentamos no texto anterior, ajustada por (1 +yield/k). Em que: yield é o retorno do título e k é o número de períodos dos fluxos de caixa dentro do ano. Neste caso, k = 1 para cupons anuais, k = 2 para cupons semestrais etc.

Neste caso, se a duration de Macaulay é dada por:

Então, a Duration Modificada é dada por:

Exemplificando a Duration modificada

Vamos supor um título de renda fixa com taxa de cupom de 10%a.a., valor de face de 1000, maturidade de 5 anos e capitalização anual. Agora, vamos usar a fórmula abaixo para calcular a duration de Macaulay e a duration modificada, supondo que a taxa de juros (r), seja de 10%.

Assim, a duração do título de dívida é de 4,1699 anos. Observe que a duração é expressa em unidades de tempo. Ou seja, o tempo médio de recebimento dos fluxos de caixa é de 4,1699 anos.

Agora, vamos calcular a duration modificada, seguindo a fórmula da mesma:

O resultado nos mostra que, para cada movimento de 1% nas taxas de juros, o preço do título neste exemplo oscilaria inversamente em 3,7908%.

Portfolio Duration: Duration de uma carteira de títulos

A duração de uma carteira pode ser obtida calculando a média ponderada da duração dos Títulos. Nesse sentido, os pesos representam o percentual de cada título em um portfólio (lembra de Markowitz?). Dessa maneira, a duração de um portfólio pode ser calculada da seguinte forma:

Em que:

• Wk é o valor de mercado (VP) de um título k / Valor de Mercado da Carteira
•  Dk é duração de um título k

Exemplo

Em uma carteira de títulos tipo desconto puro (sem cupons), com taxa de juros = 10%, temos, a seguinte duration:

Dessa forma, a duração da carteira é de 9,48. Logo, mesmo possuindo títulos mais longos (como o título C) a carteira irá oscilar menos por existirem também títulos com duration menor.

Risco x período

Por fim, no texto anterior falamos que os títulos com maior duration, são mais sensíveis às variações nas taxas de juros e que, por isso, são também mais arriscados (mais voláteis). Consequentemente, os investidores exigem um maior retorno destes títulos. Mostramos um gráfico dos títulos de curto e longo prazo americanos, em um horizonte que ia desde 1925 até 2011.

Abaixo, apresento um gráfico similar para o Brasil. Os títulos de longo (curto) prazo foram montados usando o índice IRF-M 1+ (IRF-M 1). O IRF-M 1+ 1 representa a evolução, a preços de mercado, da carteira de títulos públicos prefixados, LTNs (Letras do Tesouro Nacional ou Tesouro Prefixado) e NTN-Fs (Notas do Tesouro Nacional – Série F ou Tesouro Prefixado com Juros Semestrais) com vencimentos acima de um ano. Já o IRF-M 1 representa a carteira de títulos públicos prefixados (LTN e NTN-F) com prazos inferiores a um ano. Colocamos o Tesouro Selic para comparação.

Conforme pode ser visto, similar ao mercado dos EUA, os títulos mais longos apresentam retornos maiores, dado o maior risco da taxa de juros.

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Referências

FABOZZI, F. (2012). The Handbook of Fixed Income Securities. 8. Ed. McGraw-Hill.

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