Capitalização: entenda o que é e como funciona

Capitalização: entenda o que é e como funciona

maria-isaura

08 JUN

5 MIN

Capitalização: entenda o que é e como funciona

Por toda parte ouvimos falar sobre capitalização: seja na captação de crédito, nas aplicações financeiras, quando atrasamos um boleto ou até mesmo em compras parceladas nas lojas. Mas como isso funciona? O que significa dizer que um recurso está capitalizando? Como se capitaliza o dinheiro?

Neste artigo, vamos entender essas questões passando pelos seguintes tópicos:

  • O que é capitalização?
  • Regimes de capitalização: simples e composta
  • Exemplos: como usamos as fórmulas
  • Aplicação prática: Tesouro Direto

O que é capitalização?

O dinheiro possui valor e esse valor muda com o tempo.

Podemos visualizar este fato facilmente ao avaliar que há 5 anos determinados produtos, como arroz e gasolina, não possuíam o mesmo valor que possuem nos dias atuais. Da mesma forma acontece com os recursos financeiros, por meio da capitalização.

Nesse contexto, a capitalização constitui a maneira pela qual os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo.

O juro é a remuneração do dinheiro emprestado e sua agregação ao principal – que é o valor inicialmente investido – forma o montante – ou seja, a soma do principal com os juros que transcorrem no tempo.

Além disso, é importante lembrar que não podemos somar quantias que pertencem a momentos distintos do tempo.

Pense como seria distorcido somar R$ 10,00 de hoje com R$ 10,00 de uma década atrás. É necessário capitalizar o dinheiro, no caso de trazer quantias em um momento posterior para um momento futuro; ou descontar os valores, para fazer o caminho inverso.

Regimes de capitalização: simples e composta

Os juros refletem o valor do dinheiro no tempo. Existem dois meios pelos quais os juros podem ser capitalizados: simples (linear) e composto (exponencial).

Eles diferem entre si pelo capital em que os juros incidem – seja no montante inicial ou no valor que vai se acumulando ao longo dos períodos.

Capitalização simples

Na capitalização simples, os juros se comportam de forma linear ao longo do tempo, de forma que os juros recaem sobre o capital inicial da operação.

Com isso, os juros por período e o crescimento do valor futuro seriam constantes ou lineares. A expressão para capitalização simples é:

M = C × (1 + i × n)

Em que:

M = montante
C = capital
i = taxa de juros
n = período

Também pode ser escrita como:

VF = VP × (1 + i × n)

Sendo, VF = valor futuro e VP = valor presente.

Capitalização composta

Na capitalização composta, não é acrescido ao capital apenas os juros referentes a cada período mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior e que não foram pagos. Os juros incidem sobre o saldo apurado no início do período correspondente (e não unicamente sobre o capital inicial).

Possui a seguinte fórmula:

M = C × (1 + i )n

Em que:

M = montante
C = capital
i = taxa de juros
n = período

Também pode ser escrita como:

VF = VP × (1 + i )n

Exemplos: como usamos as fórmulas

Exemplo 1

Uma máquina possui valor de R$500.000, pago da seguinte maneira, com taxa de juros de 2% a.m.:

  • Entrada de R$150.000,00;
  • Primeira parcela de um valor X, paga após 45 dias;
  • Segunda parcela de R$300.000,00, após 60 dias.

Para resolver, devemos considerar primeiro o valor de entrada, que ocorreu em t = 0. O valor restante (500.000 – 150.000 = 350.000) foi financiado e iremos capitalizar para a data focal do 45º dia.

A parcela de R$300.000 precisa ser descontada ou descapitalizada para 0,5 mês antes.

Precisamos encontrar a diferença de R$350.000, que é o valor total financiado, e R$300.000, que é o valor referente à primeira parcela – mas precisamos deixar todos os valores no mesmo período de tempo.

Acompanhe o raciocínio na linha do tempo abaixo:

capitalização linha
Fonte: Elaboração Própria

Assim, temos:

VF = VP × (1 + i × n)

Reescrevendo a fórmula, para descontar o valor que está no t = 2,0:

VP = VF ÷ (1 + i × n)

Aplicando as fórmulas no exemplo:

X = VP × (1 + i × n) – VF ÷ (1 + i × n)
X = 350 × (1 + 0,02 × 1,5) – 300 ÷ (1 + 0,02 × 0,5)
= 360.500 – 297.030 = R$63.470

(Fonte: adaptado de Atlas, 2018)

Exemplo 2

Consideremos o mesmo exemplo para visualizar os efeitos da mudança nos critérios de capitalização: dessa vez, com juros capitalizados exponencialmente.

Assim, mais uma vez, teremos uma máquina de valor R$ 500.000, paga mediante os termos:

  • Entrada de R$ 150.000,00;
  • Primeira parcela de um valor X, paga após 45 dias;
  • Segunda parcela de 300.000,00, após 60 dias.

Usaremos as fórmulas:

VF = VP × (1 + i )n, para capitalizar os valores; e brincando com a fórmula, chegamos a
VP = VF / (1 + i )n, que realiza os descontos (descapitaliza).

Assim:

X = VP × (1 + i )n – VF / (1 + i )n

Logo,
X = 350.(1,02)1,5 –300/(1,02)0,5
X = 360.552 –297.044
X = 63.508

Aplicação prática: Tesouro Direto

Um exemplo comum da aplicação dos juros compostos é a capitalização realizada por meio do Tesouro Direto, um investimento de renda fixa.

Vamos tomar por base o Tesouro Prefixado 2025:

tesouro prefixado
Fonte: Tesouro Direto
Observação: as informações do título (preço unitário, rentabilidade e vencimento) podem ser diferentes a depender do dia de observação, dado que podem variar conforme a vontade do Tesouro Direto.

Assim, levando em conta um valor de R$ 1.000,00 aplicados no dia 07/06/2022, a serem resgatados no dia 01/01/2025, temos:

VP = 1.000
i = 12,57%
t = 2,5639 (23 dias a transcorrer no mês 06 e mais 6 meses a transcorrer durante o ano; fazemos a proporção: (23/30 + 6)/12 e somamos com os anos que serão transcorridos por completo, ou seja, 6,7667/12 + 2 = 2,5639

Logo, aplicando na fórmula:

VF = VP × (1 + i )n
VF = 1.000 × (1 + 0,1257)2,5639 = 1.354,64

Por fim, podemos ainda verificar esse resultado por meio do simulador do Tesouro Direto.

simulador
Fonte: Tesouro Direto

rentabilidade capitalização
Fonte: Tesouro Direto

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Referências

ATLAS, Equipe. Introdução à Matemática Financeira. São Paulo: Grupo GEN, 2018. 9788597021806.

NETO, Alexandre A. Matemática Financeira – Edição Universitária. São Paulo: Grupo GEN, 2017. 9788597013139.

TESOURO DIRETO. Preços e taxas dos títulos IPCA, Pré e Pós-fixados. Disponível em: https://www.tesourodireto.com.br/titulos/precos-e-taxas.htm#0

Graduanda em Ciências Contábeis (UFPB) | Membro do projeto de extensão Quantum

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