Séries

As aulas anteriores trataram de situações simples de Matemática Financeira envolvendo apenas um valor presente e um valor futuro, ou seja, uma saída de caixa e uma entrada de caixa. Nessa e nas próximas aulas, trataremos de situações mais complexas com séries de fluxos de caixa.

Na maioria das situações que envolvem cálculos de Matemática Financeira, múltiplas entradas e saídas de caixa são consideradas. Um investimento pode envolver mais de um aporte, um empréstimo pode ser pago em várias parcelas, um projeto de investimento irá retornar capital em múltiplos períodos. Essas situações são chamadas de séries e podem ser de vários tipos: uniforme, não uniforme e perpetuidade. Apesar de qualquer das variáveis poder ser calculada, o foco costuma ser no valor presente.

Série Uniforme

Na série uniforme, há uma série de fluxos de caixa futuros de igual magnitude. Suponha, por exemplo, que um investimento irá devolver juros em n parcelas iguais, que serão os valores futuros dessa série. A taxa é conhecida, o prazo é conhecido e o que geralmente se procura determinar é o preço dessa aplicação.

Exemplo: Um título devolverá ao investidor quatro pagamentos iguais de R$ 300. Se o mercado exige uma taxa de retorno de 10%, qual é o preço do título?

O diagrama de fluxo de caixa dessa operação é dado por:

A solução desse problema é trazer a valor presente cada um dos quatro fluxos de caixa à taxa de 10%. Nada mais é do que a aplicação da fórmula de valor presente para cada um dos pagamentos:

No Excel, é possível utilizar a fórmula VP para realizar esse cálculo:

=VP(10%;4;300) = -950,96

O Excel retorna um valor negativo já que considera como um fluxo negativo (o preço pago no título) que posteriormente irá retornar quatro fluxos positivos.

 

Séries Não Uniformes

É possível que o problema em questão envolva uma série de fluxos de caixa desiguais. O raciocínio é parecido com o de séries uniformes, mas há menos atalhos disponíveis. O cálculo de valor presente continua sendo trazer a valor presente cada um dos fluxos de caixa.

Exemplo: Um título devolverá ao investidor quatro pagamentos ao investidor, o primeiro sendo R$ 100, o segundo R$ 200, o terceiro R$ 300 e o quarto R$ 400. Se o mercado exige uma taxa de retorno de 10%, qual é o preço do título?

O diagrama de fluxo de caixa desse problema é:

E a solução:

Alguns problemas envolvendo séries não uniformes podem ser simplificados se apenas alguns fluxos não forem uniformes. Suponha que no exemplo que no exemplo da série uniforme o título pagasse o principal de R$ 3.000 no quarto ano junto com os juros. O diagrama seria esse:

Claramente é uma série não uniforme, mas nesse caso é possível usar o cálculo de série uniforme para os juros de R$ 300 e trazer a valor presente o principal de R$ 3.000, dado por 3.000/(1,14).

O preço seria então:
VP dos juros + VP do Principal = 950,96 + 2.049,04 = 3.000,00

 

Perpetuidade

Outra série de fluxo de caixa supõe o pagamento por um período de tempo indefinido, teoricamente para sempre. Uma empresa poderia emitir um título de dívida sem prazo de vencimento, por exemplo. Em avaliação de projetos ou de empresas, supõe-se que o projeto ou empresa irá gerar um fluxo caixa igual a partir de certo período da projeção.

O cálculo de valor presente da perpetuidade é dado por:

Uma variante desse cálculo supõe que o fluxo de caixa irá crescer a uma taxa constante de forma perpétua. Nesse caso, a fórmula de valor presente é dada por:

Onde:
g= Taxa de crescimento

Ponto importante para cálculo de perpetuidade com crescimento: o fluxo de caixa deve ser o fluxo da data 1, e não da data 0. Um truque comum em testes que perguntam sobre a perpetuidade é informar o fluxo na data 0, a taxa de crescimento e pedir para calcular o valor presente. Nesse caso:

Isso também se aplica a projetos de investimento ou avaliação de empresas. Suponha que o período de projeção explícito se encerra na data n. O cálculo de valor presente da perpetuidade é dado por:

Explicando melhor em palavras: O fluxo de caixa a ser considerado é o da data n+1, ou seja, do período imediatamente posterior ao final da projeção explícita. Para calcular o fluxo, basta aplicar a taxa de crescimento. A fórmula da perpetuidade traz a valor presente para a data 0, que nesse caso é a data n já que estamos considerando o período n+1. Para realmente trazer a valor presente (ou seja, para a verdadeira data 0) é necessário dividir por (1+i)n.

A próxima aula será sobre uma importante aplicação de séries não uniformes para avaliação de projetos de investimento.